有个流行的故事说，著名的数学家高斯有个懒惰的老师。所谓的老师想让孩子们忙些，这样他就可以睡个午觉，因此他要求全班学生计算数字1加到100。
高斯回答了他：5050。算的非常快，老师怀疑是作弊的，高斯当然没有!手动1加到100是笨拙的，高斯发现了一个避免该问题的公式：
让我们分享一些有关此结果的解释，并以直观的方式真正理解它。对于这些示例，我们将添加1到10，然后查看它如何应用于1到100（或1到任何数字）。
技术1：配对数字
配对数字是解决此问题的常用方法。与其将所有数字写在单个列中，不如将它们环绕起来，如下所示：
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
出现了一个有趣的模式：每列的总和为11。随着上排数字的增加，下排数字的减少，每列总和保持不变。
因为1与10（我们的n）配对，所以可以说每一列都有（n + 1）。我们有几对？我们有2个相等的行，我们有n / 2对。
这就是上面高斯的公式。
那奇数个项目呢？
啊，很高兴您提出来。如果我们将数字1到9相加怎么办？我们没有偶数的项目要配对。
让我们将数字1加上9，而不是从1开始，让我们从0开始计数：
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
通过从0开始计数，我们得到一个"额外项目"（总共10个），因此我们可以得到偶数行。但是，我们的公式看起来会有所不同。
请注意，由于将0和9分到一组，所以每一列的总和为n（而不是像之前一样n + 1）；我们在2行中有n +1个项，总计（n + 1）/ 2对（而不是在2行中有正好n个项，总共n / 2对）。如果您插入这些数字，您将获得：
与以前的公式相同！相同的公式对奇数和偶数都有效！
技术2：使用两行
上面的方法有效，但是您对奇数和偶数的处理方式不同，需要分别处理。那有没有更好的方法？有。
让我们将它们写在两行中，而不是四处循环：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
请注意，我们有10对，每对加起来为10 + 1，每列的总和为11。
上面所有数字的总和是
但是我们只想要一行的总和，而不是两行。因此我们将上面的公式除以2得到：
现在这很酷（就像数字行一样酷）。它适用于奇数或偶数个相同的项目！
方法3：制作矩形
这是对旧配对解释的一种新方法。不同的解释对不同的人更有效，而我倾向于更喜欢这一解释。假设我们用豆子（用x表示），而不是写数字。我们想将1粒豆加到2粒豆到3粒豆…一直到5粒豆。
当然，我们可以选择10或100粒豆子，但是5粒就可以了。我们如何计算三角中的豆子数量？
好吧，总和显然是1 + 2 + 3 + 4 +5。但是让我们以不同的方式来看待它。假设我们镜像了三角形（镜像的豆我将使用" o"），然后将其翻转：
酷吧？变成了一个矩阵队伍。看一下矩阵的底行，它有5个x和1个 o。上一行减少了1个x（总计4个）和增加了1个o（总计2个）。就像配对一样，一侧在增加，而另一侧正在减少。
现在进行解释：我们总共有多少个豆子？好吧，这就是矩形的面积。
我们有n行（我们没有更改矩形中的行数），我们的集合的宽度为（n + 1）个单位，因为1个" o"与所有" x"都配对了。
请注意，这一次，我们不在乎n是奇数还是偶数，总面积公式相同。如果n为奇数，则每行中的项目数为偶数（n + 1）。
但是，当然，我们不希望总面积（x和o的数量），而只想要x的数量。由于我们将x加倍以获得o，因此x本身仅占总面积的一半：
我们又回到了原始公式。同样，三角形中x的数量= 1 + 2 + 3 + 4 + 5，或1到n的总和。
技术4：平均化
我们都知道
平均数 = 总数 / 个数
我们可以重写为
总数=平均数*个数
因此，让我们计算总和。如果我们有100个数字（1…100），那么显然我们有100个项目。
要获得平均值，请注意所有数字均等分布。对于每个大数字，另一端都有一个小数字。让我们看一小集：
1 2 3
平均值是2。2已经在中间，1和3"抵消"，所以它们的平均值是2。
对于偶数个项目
1 2 3 4
平均介于2到3之间为2.5。
请注意，在两种情况下，平均值的最左一侧是1，而最右一侧为n。因此，我们可以说整个集合的平均值实际上只是1和n的平均值：（1 + n）/ 2。
将其放入我们的公式中
瞧！我们有第四种方式思考我们的公式。
那为什么有用呢？
三个原因：
1）快速将数字相加可能对预测有用。
请注意，公式扩展为：
计算1加到1000。假设您每天增加1个粉丝访问您的网站，1000天后您将有多少总访问者？由于1000的平方等于100万，我们将得到1000000 / 2 + 1000/2 = 500500的访问量。
2）在其他地方出现这种将数字1加到n的概念，例如弄清楚的可能性。牢牢掌握此公式将有助于您在许多方面进行理解。
3）最重要的是，此示例显示了许多了解公式的方法。也许您喜欢配对方法，也许您更喜欢矩形技术，或者还有另一种适合您的解释。当您不了解时，请不要放弃 -尝试找到另一个可行的解释。