公安立案后抓捕犯罪嫌疑人的时间并没有具体的规定。一般情况下，公安机关在立案后会进行侦查，并在有足够证据的情况下采取强制措施，如刑事拘留或逮捕。以下是相关法律规定及实际情况的总结：
刑事拘留和逮捕
公安机关在立案后对嫌疑人刑事拘留，通常在30天内报请检察院批准逮捕。重大案件可能会在3天内报捕，而简单的盗窃类案件可能在7天内报捕。检察院在接到申请后7天内决定是否逮捕。
如果检察院批准逮捕，嫌疑人将被关押；如果不批准，公安机关可能会释放嫌疑人、采取取保候审或监视居住措施。
取保候审和监视居住
嫌疑人也可以在公安侦查阶段或检察院审查起诉阶段被取保候审。在法院阶段，如果法官准备判实刑，可能在庭前几天或开庭当天对被告人进行逮捕。
侦查期限
公安机关受理案件后，经过审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任且属于自己管辖的，会制作刑事案件立案报告书，并经县级以上公安机关负责人批准立案。侦查期限通常为2个月，特殊情况下可延长1到5个月。
立案审查期限
公安机关接受报案、控告、举报、自首的刑事案件的立案审查期限一般情况下在7日以内决定是否立案。重大、复杂线索经县级公安机关负责人批准可延长至30日，特别重大、复杂线索经地（市）级公安机关负责人批准可延长至60日。
逮捕后程序
嫌疑人被刑拘后，通常在30天内会转为逮捕，并送进看守所。
综上所述，公安立案后抓捕犯罪嫌疑人的时间没有固定的规定，但总体上，从立案到逮捕的时间会受到案件性质、复杂程度、证据收集情况以及检察院审查批准等多个因素的影响。因此，无法给出一个确切的时间范围。