关于绝对值的技巧很多，可以参考文章绝对值技巧大汇总。本文侧重介绍绝对值求和不等式，以及由此衍生出的各种不等式，同时结合一道题目说明。
题目如下：
|x-a|+2|x-b|+3|x-c|+3|x-d|+2|x-e|
何时取最小值
我们先介绍一些绝对值不等式，然后求解上述题目。
01
基本不等式
最基本的绝对值求和不等式如下：
|x-a| + |x-b| >= b-a
这里a和b的相对关系如上图中数轴所示。在不知a和b的大小关系时，上述不等式可以写为：
|x-a| + |x-b| >= |b-a|
还有如下的绝对值差的不等式：
-|b-a| =< |x-a| - |x-b| <= |b-a|
-|b-a| =< |x-b| - |x-a| <= |b-a|
本文重点介绍绝对值和不等式及其衍生不等式，以及相应的应用。
02
衍生不等式
基于上述求和不等式，我们可以得到一系列衍生不等式，如下(m>0,n>0， a<=b<=c)：
n|x-a| + n|x-b| >= n(b-a)
a<=x<=b时取最小值
n|x-a| + m|x-b| + n|x-c| >= n(c-a)
x=b时取最小值
m|x-a| + n|x-b|
m>n时，x=a时取得最小值n(b-a)
m<n时，x=b时取得最小值m(b-a)
m=n时，a<=x<=b时取得最小值m(b-a)
03
求解问题
有了上述的知识储备，原问题可以拆分为如下不等式：
|x-a| + |x-d| >= d-a
a<=x<=d时取等号
2|x-b|+2|x-e|>=2(e-b)
b<=x<=e时取等号
3|x-c|+2|x-d| >= 2(d-c)
x=c时取等号
上述三个不等式相加，可得：
|x-a|+2|x-b|+3|x-c|+3|x-d|+2|x-e|
>=2e+3d-2c-2b-a
04
注意事项
绝对值配对的基本原则是要保证每个绝对值不等式取得最小值时未知数的取值区间有交集，这样多个不等式加和后才能取到最小值，否则不能。