连续函数在闭区间上有一些众所周知的性质，比如介值性定理、零点存在性定理、最值定理和一致连续性定理等。但闭区间上的连续函数的性质其实远不止这些，只是因为有一些性质描述起来过于不方便，所以就没有形成口口相传的定理罢了。
比如接下来
要分享的这个性质，就很难用一般的语言来描述。它提的是，在闭区间上的任意点列（自变量点列）对应的函数点列收敛于A，那么在这个闭区间上就一定存在一点，使得这一点的函数值等于A。虽然勉强能够表述出来，但却很难形成高度总结性的定理。
下面老黄给大家证明这个性质 ，需要运用到函数极限的归结原则。
证明：设f在[a,b]上连续，若{xn}⊂[a,b]，且lim(n→∞)f(xn)=A.则必存在点x0∈[a,b]，使得f(x0)=A.
证：∵{xn}⊂[a,b]有界，∴{xn}有收敛子列{x_(nk)},【这是致密性定理， 有界数列必有收敛子列】
设lim(k→∞) x_(nk)=x0. 【设有一个收敛子列收敛于x0，它就是归结原则定理中的那个x0，也是我们要找的点】
∵{x_(nk)}⊂[a,b]，∴x0∈[a,b].【闭区间内的收敛点列一定收敛于闭区间内的一点。这其实是需要证明的。任意取区间外的一点，分成在区间左侧和右侧两种情况。如果在左侧，则这个点与左端点的距离为半径的邻域外，最多有点列的一个点，所以不可能是点列的聚点，也就不可能是点列的极限了】
又lim(n→∞)f(xn)=A. ∴lim(k→∞)f(x_(nk))=A.【函数列收敛于A，那么它的任意子列都会收敛于A】
∵f在x0连续，∴lim(x→x0 )f(x)=f(x0)，【函数在一点连续的充要条件】
由归结原则：A=lim(k→∞)f(x_(nk))=lim(x→x0)f(x)=f(x0).【既然以x0为极限的自变量点列对应的函数列都以A为极限，就符合归结原则的充要条件，因此函数在x0收敛于A，等量替换就证明f(x0)=A了】
归结原则是许多初学高数的小伙伴比较难理解的一个定理，它指的是函数的定义域上，函数在x0的极限存在的充要条件是，任意收敛于一点x0的点列(自变量点列)，对应的函数列也收敛于同一点。
一个性质，如果不能用高度概括的语言形成一个定理，那就很难掌握起来。如果把这个性质归纳为：闭区间上连续函数的函数列收敛于一点的函数值。这样说，你觉得怎么样呢？